|
Vyjádření
přímky
Přímka v analytické
geometrii
Přímku
v analytické geometrii můžeme zadat
parametricky takto:
- Vezmeme
nějaký bod kterým přímka [x0;
y0; ...] prochází.
Počet souřadnic bodu je 2
nebo 3 podle dimenze prostoru, ve kterém
pracujeme.
- Ostatní body přímky budou mít souřadnice ve
tvaru [x0 +
a*t; y0 + b*t; ...], kde:
- a, b, ... jsou konstanty, z nichž alespoň
jedna musí být
≠ 0,
- t je parametr
(reálné
číslo) vyjadřující, že všechny souřadnice se
mění současně, čili body přímky získáváme
dosazováním různých hodnot t.
Tak získáme tzv. parametrické
rovnice souřadnic přímky:
- x = x0 + a * t,
- y = y0 + b * t,
- ...
Poznámky
- Pokud některé z konstant a, b, ... jsou nulové, příslušné
souřadnice bodů přímky se se změnami t nemění, tj.
přímka je kolmá na příslušné osy (viz příklad).
- Pro každou přímku s
parametrickými rovnicemi
- x = x0 + a *
t,
- y = y0 + b *
t,
- ...
existuje nekonečně mnoho sad
parametrických rovnic:
- 1) sady s posunem počátku
o konstantu t0:
- x = x0 + a
* t0 + a * t,
- y = y0 + b
* t0 + b * t,
- ....
- 2) sady s koeficienty
vynásobenými konstantou c:
- x = x0 + a
* c * t,
- y = y0 + b
* c * t,
- ....
Příklad v rovině
Jsou zadány vzorce x = 1 + t, y =
1 + 1,5 * t. Narýsujte jimi určenou
přímku p.
Řešení
Na obrázku je zakresleno několik bodů přímky p pro několik hodnot t. Je vidět, že pro
celočíselná t jsou
jejich obrazy na přímce ve stejných vzdálenostech.
Přímka prochází m.j. body [1;
1], [3; 4],
[1/3; 0], [0; -1/2].
Příklad v prostoru
Jsou zadány vzorce x = 1 + 2
* t, y = -1 + 4 * t, z = 1 + t.
Narýsujte jimi určenou přímku p.
Řešení
Na obrázku je zakreslena přímka p procházející bodem P1 = [1; -1; 1],
jejíž souřadnice mají tvar [1
+ 2*t; -1 + 4*t; 1 + 1*t]. Bod P2
= [3; 3; 2] získáme
při dosazení t = 1.
Příklad přímky v prostoru se dvěma
nulovými koeficienty
Jsou zadány vzorce x = 1, y =
3, z = 1 + 2 *
t. Narýsujte
jimi určenou přímku p.
Řešení
Takto zadaná přímka p
prochází bodem P0 =
[1; 3; 1]. Její další bod P1 = [1; 3; 3] získáme při dosazení t = 1.
Tím, že v parametrickém vyjádření jsou dvě konstanty u
parametru t nulové, přímka je kolmá na osy x a y a
je tedy rovnoběžná s osou z.
Další způsoby zadávání
přímky
Tyto způsoby jsou založeny na různých vlastnostech
přímky. Pro každý ze způsobů si uvedeme jeho převod na zadání
parametrické.
- Zadání použitelné v rovině i v prostoru:
- Zadání použitelná pouze v rovině:
Zadání přímky bodem a
vektorem
Bod P = [x0; y0]
je počátkem vázaného
vektoru daného vektorem
= (a; b). Body
přímky p jsou
koncové body vázaných vektorů daných všemi možnými násobky
reálným číslem.
Vektor
udává směr přímky p a
proto se nazývá směrový
vektor přímky p.
Příklad
Máme zadán bod P = [1; 1]
a vektor = (2; 3). Narýsujte jimi
určenou přímku p.
Řešení
Přímka p vpravo od
bodu P vznikla jako
množina vrcholů vázaného vektoru při jeho násobení
číslem > 0 (body
přímky jsou vyznačeny zeleně a žlutě).
Přímka p vlevo od
bodu P vznikla jako
množina vrcholů vázaného vektoru při jeho násobení
číslem < 0 (body
přímky jsou vyznačeny žlutě).
Zadání převedeme na parametrické snadno:
- x = x0 + 2 * t,
- y = y0 + 3 * t,
protože obě zadání fungují podobně.
Zadání přímky obecnou
rovnicí v rovině
Toto
zadání v množinovém zápisu vypadá takto:
M = { [x; y]; x ∈ ℝ; y ∈ ℝ
| u * x + v * y + w = 0, u ≠ 0 ∨ v ≠ 0 }
Příklad
Je zadán předpis -3/2 * x + 1
* y + 0,5 = 0. Narýsujte jím určenou
přímku p.
Řešení
- Pro narýsování přímky potřebujeme znát alespoň dva
body jejího grafu.
- První získáme například volbou x = 0, dostaneme y = -0,5, tedy bod [0; -0,5].
- Druhý získáme například volbou y = 0, dostaneme x = 1/3, tedy bod [1/3; 0].
Převod
parametrických rovnic na obecnou rovnici
Jsou-li zadány
parametrické rovnice přímky:
x
= x0 + a * t,
y = y0 + b * t
vyloučíme z nich
t. Protože a
nebo b může být nulové a mohli bychom mít
problémy s dělením nulou,
úlohu si rozdělíme na tři podúlohy:
- a ≠ 0 & b ≠ 0:
- x = x0 + a *
t
y = y0 + b * t
- (x - x0) / a
= t
(y - y0) / b = t
- (x - x0) / a = (y - y0)
/ b
//
vynásobíme a * b a přerovnáme
- b
* x - b * x0 = a * y - a * y0
- b * x - a * y +
(-b * x0 + a * y0) = 0 // (-b * x0 + a * y0)
je konstanta
- a = 0 & b ≠ 0:
- x = x0 + a *
t
y = y0 + b * t
- x = x0
// upravíme první rovnici
- x - x0 = 0
// upravíme ji
- b
* x - b * x0 = 0 // upravíme ji vynásobením
nenulovým b
- b * x - b * x0
= a * y - a * y0
// 0 vpravo nahradíme
jinou nulou
- b * x - a * y +
(-b * x0 + a * y0) = 0 // po úpravě máme výsledek
- a ≠ 0 & b = 0:
- x = x0 + a *
t
y = y0 + b * t
- y = y0
// upravíme druhou rovnici
- 0 = y - y0
// upravíme ji
- 0 = a * y - a * y0 // upravíme
ji vynásobením nenulovým a
- b * x - b * x0
= a * y - a * y0
// 0 vpravo nahradíme jinou nulou
- b * x - a * y + (-b * x0
+ a * y0) = 0 // po úpravě máme výsledek
Tak jsme se chytře vyhnuli dělení nulou a dostali ve všech
případech stejný výsledek
b * x - a * y + (-b
* x0 + a * y0) = 0.
Poznámka
Některé prováděné úpravy byly hodně
krkolomné, protože cílem bylo dosáhnout shodného
výsledku ve všech třech podúlohách.
Převod zadání obecného na
parametrické
Provedeme jej jednoduchým propočtem:
- Nechť je dáno a * x + b *
y + c = 0. Protože jedno z a a b může být nulové,
úlohu si rozdělíme na dvě podúlohy.
- Je-li a ≠ 0, určíme:
- y0 = 0 a výpočtem dostaneme x0 = -c / a,
- y1 = 1 a výpočtem dostaneme x1 = (-c - b) / a,
- parametrické rovnice budou:
- x = x0 + (x1
- x0)
* t = x0 + ((-c -
b) / a - (-c / a)) * t
= x0
+ (((-c - b - (-c)) / a) * t = x0
+ (((- b)) / a) * t
- y = y0 + (y1
- y0)
* t = y0
+ (1 - 0)
* t
= y0
+ t
- Aby tyto rovnice byly symetrické, t vynásobíme a:
- x = x0
- b * t,
- y = y0 + a * t.
- Jinak je b ≠ 0 a určíme:
- x0 = 0 a výpočtem dostaneme y0 = -c / b,
- x1 = 1 a výpočtem dostaneme y1 = (-c - a) / b,
- parametrické rovnice budou:
- y = y0 + (y1
- y0)
* t = y0
+ ((-c - a) / b - (-c / b)) * t
= y0
+ (((-c - a - (-c)) / b) * t = y0
+ (((- a)) / b) * t
- x = x0 + (x1
- x0)
* t = x0
+ (1 - 0)
* t
= x0
+ t
- Aby tyto rovnice byly symetrické, t vynásobíme -b:
- y = y0
+ a * t,
- x = x0 - b * t.
- Pro obě podúlohy jsme dostali stejné vzorce.
Zadání přímky úsekovou
rovnicí v rovině
- Jsou zadány body P = [p;
0] a Q = [0;
q], p,
q≠ 0.
- Vztah x / p + y / q = 1 se
nazývá úsekový tvar přímky.
Postupným dosazením x = 0
a y = 0 zjistíme,
že přímka prochází body P a
Q, takže toto zadání
je velmi názorné - stačí dosadit p a q do vzorečku a jsme
hotovi.
Úsekovou rovnicí nelze zadat ani
přímky kolmé na osu x ani přímky kolmé na osu y.
Příklad
Jsou zadány body [1/3; 0],
[0; -1/2]. Narýsujte
jimi určenou přímku p.
Řešení
Převod zadání úsekového na parametrické provedeme
snadno:
- x / p + y / q = 1
- Za výchozí bod [x0; y0] vezmeme bod P
průsečík přímky s osou x.
- Složky vektoru pro
parametrické rovnice dostaneme odečtení souřadnic
dvou bodů na přímce, tedy bodů Q
a P:
x = p + (0 - p) * t = p - p *
t,
y = 0 + (q - 0) * t = q * t.
Zadání přímky funkčním
předpisem v rovině
Přímka f je zadána jako funkce
s předpisem ve tvaru y = k * x +
q, kde k
a q jsou reálná
čísla, tedy
f = { [x, y] ∈ ℝ
× ℝ | y = k * x + q }.
Body [x; y] přímky
dostáváme dosazováním různých hodnot za x.
V tomto způsobu zadání můžeme zadat přímku rovnoběžnou
s osou x tak,
že položíme k = 0.
Nelze však zadat přímku rovnoběžnou s osou y, neboli přímku kolmou
na osu x.
Poznámka
Takto zadaná funkce se nazývá funkce
lineární. Je zobecněním mocninné
funkce s exponentem 1. Koeficienty lineární funkce
mají svá jména:
- k se nazývá směrnice,
- q se nazývá úsek na ose y.
Příklad
Je zadán předpis y = 3/2 * x
- 0,5. Narýsujte jím určenou přímku p.
Řešení
Přímka p vznikne jako
množina [x; y]
tak, že ke každému reálnému x
se vyčíslí y.
Převod funkčního zadání y = k
* x + q na parametrické provedeme takto:
- Za výchozí bod [x0; y0] vezmeme [0; q] - ten na přímce leží.
- Za další bod [x1; y1] vezmeme bod [1; q + k] - ten na přímce rovněž leží.
- Koeficienty pro parametrické
rovnice dostaneme odečtení souřadnic těchto dvou
bodů:
x = 0 + (1 -
0) * t = t,
y = q + (q + k - q) * t = q +
k * t.
V našem příkladu bude x = t,
y = 0,5 + 1,5 * t.
Animace přímky v rovině
Pro funkci ve tvaru y = k * x + q nastavte
parametry:
|